【题目】已知， ，曲线上的任意一点满足： .

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点的直线与曲线交于， 两点，交轴于点，设， ，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由.

参考答案：

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用， ，结合韦达定理，即可得出结论．

试题解析：（1）设，则， ， ，

∵，∴，

化简得， 为所求点的轨迹方程.

（2）设， .

①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，

则，从而， ，由得

， ， ，

同理由得，

∴.①

由，得.

∴， ，

代入①式得，∴.

②当直线与轴重合时， ， ， .

由， ，得， ，∴，

综上， 为定值.

点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

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