Question

【题目】已知函数f（x）=m﹣
（1）若f（x）是R上的奇函数，求m的值
（2）用定义证明f（x）在R上单调递增
（3）若f（x）值域为D，且D[﹣3，1]，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（x）+f（﹣x）=m﹣ +m﹣ =0，

即2m﹣（ + ）=02m﹣1=0，

解得m=

（2）解：设 x1＜x2且x1，x2∈R，

则f（x1）﹣f（x2）=m﹣ ﹣（m﹣ ）= ，

∵x1＜x2∴ ，

，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上单调递增

（3）解：由 ，所以m﹣1＜f（x）＜m，f（x）值域为D，且D[﹣3，1]，

∴D=（m﹣1，m），

∵D[﹣3，1]，

∴ ，

∴m的取值范围是[﹣2，1]

【解析】（1）由奇函数的定义可得f（x）+f（﹣x）=0恒成立，由此可求得m值；（2）设 x1＜x2且x1 ， x2∈R，利用作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（3）先根据反比例函数的单调性求出值域D，然后由D[﹣3，1]可得关于m的不等式组，解出即可；
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．