Question

【题目】己知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，

∴loga2﹣2loga（2+t）=0，

∴2=（2+t）2，

∴t= ﹣2

（2）解：当0＜a＜1且t=﹣1时，

不等式f（x）≤g（x）可化为

loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），

故 ，

解得， ＜x≤

（3）解：F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1

=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，

令tx2+x﹣2t+2=0，

即t（x2﹣2）=﹣（x+2），

∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，

∴t≠0，x2﹣2≠0；

∴ =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，

∵2 ≤（x+2）+ ≤ ，

∴﹣ ≤﹣[（x+2）+ ]+4≤4﹣2 ，

∴﹣ ≤ ≤4﹣2 ，

∴t≤﹣2或t≥

【解析】（1）由题意得loga2﹣2loga（2+t）=0，从而解得．（2）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由对数函数的单调性可得 ，从而解得．（3）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得 =﹣ =﹣[（x+2）+ ]+4，从而解得．