Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：

（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．

∵E、G分别为SA、SC的中点，

∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．

∵EF平面ABC，AB平面ABC，

∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC

又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，

∴平面EFG∥平面ABC；

（2）

证明：∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，

AF平面ASB，AF⊥SB．

∴AF⊥平面SBC．

又∵BC平面SBC，∴AF⊥BC．

∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．

又∵SA平面SAB，∴BC⊥SA．

【解析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．