Question

【题目】已知椭圆：，点.

（1）设是椭圆上任意的一点，是点关于坐标原点的对称点，记，求的取值范围；

（2）已知点，，是椭圆上在第一象限内的点，记为经过原点与点的直线，为截直线所得的线段长，试将表示成直线的斜率的函数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设的坐标为，则的坐标为，先求出和，然后运用向量数量积的坐标运算能够求出的取值范围；（2）根据为双曲线上第一象限内的点，可知直线的斜率，再由题设条件根据的不同取值范围试将表示为直线的斜率的函数.

试题解析：（1）设，则，

所以，又，

所以，又，所以.

（2）因为是椭圆上在第一象限内的点，则的斜率，且.

当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线的交点，由已知，，

联立解得，联立解得，

于是；

当时，截直线所得的线段的两个端点分别是直线与直线的交点，由已知，

联立解得，

于是.

综上所述，.