Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，F1 ， F2分别为椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．

（1）若点C的坐标为（ ， ），且BF2= ，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C的坐标为（ ， ），

∴ ，即 ，

∵ ，

∴a2=（ ）2=2，即b2=1，

则椭圆的方程为 +y2=1

（2）解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），

∵B（0，b），

∴直线BF2：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ =0，

解得x=0，或x= ，

∵A（ ， ），且A，C关于x轴对称，

∴C（ ，﹣ ），

则 =﹣ = ，

∵F1C⊥AB，

∴ ×（ ）=﹣1，

由b2=a2﹣c2得 ，

即e=

【解析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．