Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）记的最大值为，若且，求证：；

（3）若，记集合中的最小元素为，设函数，求证：是的极小值点.

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）见解析；（3）见解析

【解析】分析：（1）分别解不等式和可得的增区间和减区间.

（2），根据得到，把该式变形为，证明函数不等式在恒成立即可.

（3）根据（1）中函数的单调性及可得，因此 ，分别讨论函数在的单调性可判断是的极小值点.

详解：（1），

因为由，得；

由，得；

所以，的增区间为，减区间为.

（2）由（1）知，.

∴，∴，

∴，∴ ，∴，

设，则，

所以，在上单调递增，，则，因，

故，，所以.

（3）由（1）可知，在区间单调递增，又时，，

易知，在递增，，

∴，且时，；时，.

当时，

于是时，， （所以，若证明，便能证明），

记，

则，∵，∴，

∴在内单调递增，∴，

∵，

∴在 内单调递增.

∴，于是时，

，

∴在递减.

当时，相应的，

∴在递增.故是的极小值点.