Question

【题目】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.

（1）求该抛物线的方程；

（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点

【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点

试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为: .

联立方程组，消元得: ，

∴.

∴

解得.

∴抛物线的方程为： .

（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，

设直线的方程为： ，

联立，得，

则①.

设，则.

∵

即，得： ，

∴，即或，

代人①式检验均满足，

∴直线的方程为： 或.

∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.