Question

【题目】设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．
（I）若b= ，f（x）=|x﹣ |在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的范围．
（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）
①当 时，则 ，即3ax2﹣2ax=0，解得x=0
②当 时，则 ，即3ax2﹣2（a+1）x+1=0
令t（x）=3ax2﹣2（a+1）x+1，因为 ，只要t（1）=a﹣1≥0即可
所以a≥1
（II）设|f（x）|的最大值为M
①当 ，函数f（x）在[0，1]递减函数，M=|f（0）|≤2
②当 ，函数f（x）在[0，1]递增函数，M=|f（1）|≤2
③当 时，即﹣a＜b＜2a时，
（ⅰ）当 时，即
则 ，则f（1）﹣ = ＞0
所以 M≤2
（ⅱ）当 时，即 时，可得 ，即
则f（0）﹣ ＞0
所以M≤2
综上M=2，当a=2，b=2，f（x）=12x2﹣12x+2，M=2
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，关于a的不等式，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出|f（x）|的最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．