【题目】已知.
(1)试求在
上的最大值;
(2)已知在
处的切线与
轴平行,若存在
,
,使得
,证明:
.
【答案】(1)当时
;当
时
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先求导数,然后对
分类讨论,判断单调性,求解即可.
(2)由题意可知,,则
,从而确定
单调性,再根据
的正负,确定其函数的大致图像,从而确定有
,要证
,只需证
,只需证明
,只需证
,构造函数
,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,即可.
(1),
当时,则
对任意
恒成立,即
恒成立.
所以在
单调递增.
则的最大值为
;
当时,令
,即
当,即
时,
当时
,
在
上单调递增.
当时
,
在
上单调递减,
.
当即
时,
对任意
恒成立,
即恒成立,所以
在
单调递增.
则的最大值为
;
综上所述:当时
;
当时
.
(2)因为在
处的切线与
轴平行,
所以,则
,即
.
当时,
,则
在
上单调递增,
当时,
,则
在
上单调递减.
又因为时有
;
时有
,
根据图象可知,若,则有
;
要证,只需证
;
又因为,所以
;
因为在
上单调递减,从而只需证明
,
只需证
只需证
设,则
.
由的单调性可知,
.
则,即
.
所以,即
在
上单调递增.
所以.
从而不等式得证.
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【题目】函数f(x),若关于x的方程f2(x)﹣af(x)+a﹣a2=0有四个不等的实数根,则a的取值范围是( )
A.B.(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪{1}D.(﹣1,0)∪{1}
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【题目】在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:
试销价格 | ||||||
产品销量 |
已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲
;丙
,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
(1)试判断谁的计算结果正确?
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取
个,求“理想数据”的个数
的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数,
、
、
都有
,满足
的实数
有且只有3个,给出下述四个结论:①满足题目条件的实数
有且只有2个:②满足题目条件的实数
有且只有2个;③
在
上单调递增;④
的取值范围是
.其中所有正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足
(O是坐标原点),
若椭圆的离心率等于
(1)求直线AB的方程;
(2)若三角形ABF2的面积等于,求椭圆的方程.
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【题目】如图,四棱锥的底面为直角梯形
,
,
,
,
底面
,且
,
为
的中点.
(1)证明:;
(2)设点是线段
上的动点,当直线
与直线
所成的角最小时,求三棱锥
的体积.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)写出曲线和直线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线过点
与曲线
交于不同两点
,
的中点为
,
与
的交点为
,求
.
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