【题目】选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．

【答案】（Ⅰ）C: ；直线的直角坐标方程 （Ⅱ）8

【解析】

（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；

（Ⅱ）先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，得到，再由直线的参数方程代入，得到，进而可得出结果.

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；

即

的直角坐标方程为：

（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），

将其代入曲线的普通方程并整理得，

设两点的参数分别为，则

因为为的中点，故点的参数为，

设点的参数分别为，把代入整理得

所以.

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