Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．

①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；

②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）…………………………………… 2分

当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值。 ……………………………… 3分

当时，令，得。

当变化时，与变化情况如下表：

	＋	0	－
	单调递增	极大值	单调递减

∴当时，取得极大值。

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。 ……………5分

（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。 ……………………7分

∵，即证存在，使得，即成立，且点不在上。 …………………8分

以下证明方程在内有解。

记，则。

令，

∴，

∴在内是减函数，∴。

取，则，即。……9分

同理可证。∴。

∴函数在内有零点。

即方程在内有解。………………10分

又对于函数取，则

可知，即点Q不在上。

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。…… 11分

（ⅱ）取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

证明如下：设是曲线C上任意两点，

则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。

【解析】略