Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数， ），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）讨论直线与圆的公共点个数；

（Ⅱ）过极点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹与圆相交所得弦长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）点的轨迹与圆相交所得弦长是.

【解析】试题分析： (Ⅰ)根据直线参数方程的几何意义可知直线式过定点，将极坐标方程化为直角坐标，可知圆心为 ，半径为 ，动态讨论倾斜角可得结果；(Ⅱ)直线与圆的极坐标方程联立，求出极径，即可得结果.

试题解析：(Ⅰ)直线式过定点，倾斜角在内的一条直线，

圆的方程为，∴当时，直线与圆有1个公共点；

当时，直线与圆有2个公共点

(Ⅱ)依题意，点在以为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为.

联立得.

∴点的轨迹与圆相交所得弦长是.