Question

【题目】如图，在直角梯形中， ， 为线段（含端点）上一个动点，设对于函数，给出以下三个结论：

①当时，函数的值域为；

②对于任意的，均有；

③对于任意的，函数的最大值均为4.

其中所有正确的结论序号为__________．

Answer 1

【答案】②③

【解析】如图所示，建立直角坐标系．

∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），

∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．

∵=x，（0≤x≤1）．

∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），

∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）

∴y=f（x）==（2﹣x，﹣xa）（2﹣x，a﹣xa）

=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）

=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=，

∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；

又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．

综上可得：函数f（x）的值域为．

因此①不正确．

②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可得：a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；

③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．

可知：对称轴x0=．

当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．

当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．

又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．

因此③正确．

综上可知：只有②③正确．

故答案为：②③．