Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）= ．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，解得

（2）解：由已知可得f（x）=x+ ﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k2x≥0可化为 2x+ ﹣2≥k2x，

可化为 1+ ﹣2 ≥k，令t= ，则 k≤t2﹣2t+1．

因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[ ，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[ ，2]上能成立．

记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[ ，2]，故 h（t）max =h（2）=1，

所以k的取值范围是（﹣∞，1]

【解析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故 ，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为 2x+ ﹣2≥k2x ， 故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[ ，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，从而求得k的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用二次函数在闭区间上的最值和函数的零点与方程根的关系，掌握当时，当时，；当时在上递减，当时，；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点即可以解答此题．