Question

【题目】“秃发”是一种常见的毛发疾病，随着发病人群年龄结构的年变化，逐渐引起了社会的广泛关注.一个人出生时头发数量约为100000根，数学徐老师建立了“秃发”函数模型作预估：一个人岁时的头发根数为，其中称为“脱发指数”.

（1）杜老师5岁时有74375根头发，请依据模型求出杜老师的“脱发指数”的值；

（2）徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点：①头发的根数应该为整数；②头发的根数不能为负数，徐老师感觉很有道理，将模型作了两处修正，请写出修正后（1）问中杜老师的“秃发”函数模型，并求出杜老师几岁时头发最多.

Answer 1

【答案】（1）；（2），杜老师4岁时头发最多.

【解析】

（1）将代入求解即可求出的值；

（2）引入求整数的符号，且将函数写成分段函数的形式，当函数值为负数时变为常数0即可，最后结合基本不等式求出即可.

（1）依题意，当时，，

解得，，所以，杜老师的“脱发指数”的值为3125；

（2）依题意可得，，

其中表示不超过x的最大整数，

由，

当且仅当时，等号成立，此时，.

即杜老师4岁时头发最多.