Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的图象在两点处的切线分别为，若，且，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）减区间是，增区间是；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用分类探求；（2）借助题设运用恒成立建立不等式求解；（3）依据题设构建函数,运用导数知识求解.

试题解析：

函数，求导得，

（1）当时，，

①若，则恒成立，

所以在上单调递减；

②若，则，令，解得或（舍去）

若，则，在上单调递减；

若，则，在上单调递增；

综上，函数的单调减区间是，单调增区间是

（2）当时，，而，

所以当时，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以函数在上的最小值为，

所以恒成立，解得或（舍去）

又由，得，

所以实数的取值范围是．

（3）由知，，而，则，

若，则，

所以，解得，不合题意

故，则，

整理得，，

由，得，令，则，

所以，设，则，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

所以函数的最小值为，

故实数的最小值为