Question

【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70万元

【解析】试题分析：（1）由C（x）＝，可先求出k的值（C（0）＝8），然后根据题意；f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即6x（隔热层建造费用）+20×（20年的能源消耗费）；

（2）由（1）已知函数解析式，可转化为求函数的最值，可运用导数可求出最值。（注意定义域）

试题解析：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝，而建造费用为C1（x）＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）．

（2）f ′（x）＝6－，

令f ′（x）＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－（舍去）．

当0<x<5时，f ′（x）<0， 当5<x<10时，f ′（x）>0，

故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70.

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．