Question

【题目】如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（1）求证：BD⊥AD；
（2）若AC=BD，AB=6，求弦DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，

又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

从而∠PFA=∠BDA．

又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，

故AB为圆的直径，

∴BD⊥AD．

（2）解：连接BC，DC．

由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB=∠CBA．

又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．

∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，

∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，

∴DE=AB=6

【解析】（1）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（2）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．