Question

【题目】已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设分别为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求出直线方程为，利用原点到直线的距离建立方程并化简得，有离心率及，解方程组求得：，故椭圆方程为；（2）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，写出根与系数关系，利用弦长公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得最大值为.

试题解析：

（1）直线的方程为即，

原点到直线的距离为即．．．．．．．．．．．．．①

．．．．．．．．．．．②

又．．．．．．．．．．③

由①②③可得：故椭圆方程为；

（2），设，

由于直线的斜率不为0，故设其方程为：，

联立直线与椭圆方程：

或．．．．．．．．．．④

．．．．．．．．．．．．．．．．⑤

将④代入⑤得：，

令，则，

当且仅当，即，即时，面积取最大值．