Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），直线y=x+ 与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，F1 ， F2为其左右焦点，P为椭圆C上的任意一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C上的左顶点，直线∫过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k1 ， k2满足k1+
k2=﹣ ，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x0，y0），I（x1，y1），则G（ ）．

又IG∥F1F2， ，|F1F2|=2c，

∴ = |F1F2||y0|= ．

∴2c= ，故a=2c．

又直线y=x+ 与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，

∴b= = ，

∴a=2，c=1．∴ ．

（2）解：若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意；

则直线l的斜率存在．

设直线l为y=k（x﹣1），直线l和椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）．

将y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得：

（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

依题意：△=9k2+9＞0，

由韦达定理知： ，

又kAM+kAN= =k（ ）

=k[2﹣3（ ）]，

=

=

= ，

从而kAM+kAN=k（2﹣3 ）=﹣ ，

解得k=2，符合△＞0．

故所求直线MN的方程为：y=2（x﹣1）

【解析】（1）设P（x0 ， y0），I（x1 ， y1），则G（ ），由已知条件推导出a=2c，b= = 由此能求出椭圆方程．（2）设直线l为y=k（x﹣1），直线l和椭圆交于M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．将y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理能求出直线MN的方程．