Question

【题目】椭圆的右焦点为，为圆与椭圆的一个公共点，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）如图，过作直线与椭圆交于，两点，点为点关于轴的对称点.

（1）求证：；

（2）试问过，的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）（1）由题意，设的方程为，联立方程可得，利用韦达定理即可得到结果；（2）直线的方程为，可化为 .从而得到定点.

（Ⅰ）解：设是椭圆的左焦点，连接，，.

∵，∴.

∴.

∴.∴.

又∵，，∴.

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）（1）证明：① 当直线斜率为0时，的方程为，∴，等式显然成立；

②当直线斜率不为0时，由题意，设的方程为.

∵，，点为点关于轴的对称点，则.

整理，得.

，

，.

∴

.

∴等式成立.

（2）解：过，的直线过定点.

①当直线斜率不为0时，∵，

∴直线的方程为，

即，

即.

由（1）可知，，

∴

.

∴ .

∴过，的直线过定点；

②当直线斜率为0时，的方程为，直线也过定点.

综上可知，过，的直线过定点.