Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+2=2an（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an ， 数列{}的前n项和为Tn ， 证明：Tn＜1．

Answer 1

【答案】解：（I）由Sn+2=2an ，
当n=1时，a1+2=2a1 ， 解得a1=2；
当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1 ， 即an=2an﹣1 ，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
数列{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n ．
（Ⅱ）证明：由（I）得bn=log22n=n，
所以Tn=+++…+
=+++…+
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【解析】（I）求得数列的首项，将n换为n﹣1，相减可得an=2an﹣1 ， 运用等比数列的通项公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得bn=log2an=n，=﹣ ， 再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证。