Question

【题目】已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Tn，求证： ≤Tn＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝4n＋2.（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组可得a1＝6，d＝4.所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)裂项求和可得，则，结合前n项和公式可证得数列{Tn}是递增数列，则Tn≥T1＝，据此即可证得题中的结论.

试题解析：

(1)因为数列{an}是等差数列，

所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.

依题意，有

即

解得a1＝6，d＝4.

所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)证明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.

所以＝＝＝(－)．

所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋·

＋＝

＝－.

因为Tn－＝－＜0，所以Tn＜.

因为Tn＋1－Tn＝＞0，所以数列{Tn}是递增数列，

所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.