Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为 ，离心率为 ，左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ，解得 ，c=1，

所以椭圆E： ．

（2）解：由（1）可知：椭圆的右准线方程为 ，

设P（3，y0），Q（x1，y1），

因为PF2⊥F2Q，所以 ，

所以﹣y1y0=2（x1﹣1）

又因为 且 代入化简得 ．

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值

（3）解：由（2）知， ， ，

∴ ．

∴直线PQ的方程为 ，即 ，

联立 得 ，

∵ ， ．

∴化简得： ，又△=0，

解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点

【解析】（1）由题意可得 ，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为 ，设P（3，y0），Q（x1 ， y1），由PF2⊥F2Q，可得 ，利用斜率计算公式可得kPQkOQ及 代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为 ，即 ，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．
【考点精析】关于本题考查的直线的斜率和椭圆的标准方程，需要了解一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．