Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， an是Sn和1的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an是Sn和1的等差中项，

∴2an=Sn+1，2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2），

两式相减得：2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，

又∵2a1=S1+1，即a1=1，

∴数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，

∴an=2n﹣1

（2）解：由（1）可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1，

2Tn=121+222+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

两式相减得：﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n2n

= ﹣n2n

=﹣1﹣（n﹣1）2n，

∴Tn=1+（n﹣1）2n

【解析】（1）通过等差中项的性质可知2an=Sn+1，并与2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2）作差，进而整理可知数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知Tn=120+221+322+…+n2n﹣1 ， 进而利用错位相减法计算即得结论．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．