Question

【题目】无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.

（1）若，求和的值；

（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；

（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）真命题，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据题意直接写出、、的值，可得出结果；

（2）分和两种情况讨论，找出使得等式成立的正整数，可得知命题为真命题；

（3）先证明出“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件，由此可得出，然后利用定义得出，由此可得出的值.

（1）根据题意知，对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数，

因此，，，；

（2）真命题，证明如下：

①当时，则，，，此时，当时，；

②当时，设，则，，，

此时，当时，.

综上所述，命题为真命题；

（3）先证明：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件.

假设存在，使得“存在，当时，恒有成立”.

则数列的前项为，，

，，

，，

后面的项顺次为，

，

，

，

故对任意的，

，

对任意的，取，其中表示不超过的最大整数，则，

令，则，此时，

有，这与矛盾，

故若存在，当时，恒有成立，必有；从而得证.

另外：当时，数列为，

故，则.