Question

【题目】判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝x＋1；

（2）f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)；

（3）f(x)＝|x－2|－|x＋2|；

（4）f(x)＝

Answer 1

【答案】（1）既不是奇函数又不是偶函数；（2）既不是奇函数又不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数.

【解析】

根据函数的奇偶性的定义，结合函数的解析式，逐个判定，即可求解.

（1）函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．

因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，

所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．

（2）因为函数的定义域不关于原点对称，即存在－4∈[－4，4)，而4[－4，4)，

所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4，4)既不是奇函数又不是偶函数．

（3）函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．

因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．

（4）函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ (－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)；

当x<0时，－x>0，f(－x)＝ (－x)2＋1＝x2＋1＝－(－x2－1)＝－f(x)．

综上可知，函数f(x)＝是奇函数．