Question

【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：

组号	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组
分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，
[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（Ⅲ）由直方图，得：
第3组人数为0.3×100=30，
第4组人数为0.2×100=20人，
第5组人数为0.1×100=10人．
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：
第3组： 人，
第4组： 人，
第5组： =1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1 ， A2 ， A3 ， 第4组的2位同学为B1 ， B2 ， 第5组的1位同学为C1 ， 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A1 ， A2），（A1 ， A3），（B1 ， B2），（A2 ， A3），（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A2 ， B1），（A2 ， B2），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），
其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），共5种．
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为

【解析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．
【考点精析】利用分层抽样和频率分布直方图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本；频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．