Question

【题目】设f（logax）= ，（0＜a＜1）
（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）对于f（x），当x∈（﹣1，1）时，恒有f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设logax=t，则x=at，

∴f（t）= = =

∴f（x）=

∴f（﹣x）= （a﹣x﹣ax）=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数

（2）解：函数为增函数，

∵f（x）=

设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= （ ）= （ ﹣ + ﹣ ），

∵0＜a＜1时，

∴a2﹣1＜0， ＞1，

∴ ﹣ ＞0，+ ﹣ ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增

（3）解：∵f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，

∴f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），

∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

∴

解得，1＜m ，

故m的取值范围为（1， ）

【解析】（1）利用换元法，设logax=t，则x=at ， 代入化简即可，再利用奇偶性的定义证明即可，（2）函数为增函数，利用定义证明即可，（3）利用函数为奇函数和增函数，得到不等式组，解得即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性，需要了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．