Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（3）在（2）的条件下，任意的0＜a＜b， ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当m＞0时，由

则 ，则f（x）在 上单调递增，在 上单调递减．

（2）

解：由（1）得：当m≤0时显然不成立；

当m＞0时， 只需m﹣lnm﹣1≤0即

令g（x）=x﹣lnx﹣1，

则 ，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．

（3）

解：

由0＜a＜b得 ，

由（2）得： ，则 ，

则原不等式 成立．

【解析】（1）求函数f（x）的单调区间，可先求 ，再解出函数的单调区间；（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出 再由0＜a＜b得出 ，代入即可证明出不等式．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．