Question

【题目】选修4﹣1：几何证明选讲
如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是的⊙O直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M．

（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；
（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，

MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，

所以MA=3，AB=12﹣3=9．

（2）解：因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，

由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，

又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，

于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．

又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，

所以∠DCB=120°

【解析】（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．