Question

【题目】已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．

Answer 1

【答案】解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），
即a|x+b|=a|﹣x+b| ， 所以|x+b|=|﹣x+b|
得 b=0．
（2）记h（x）=|x+b|=，
①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，
∴﹣b≤2，b≥﹣2
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数
但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能
∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2
【解析】（1）因为f（x）为偶函数，得到对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；
（2）记h（x）=|x+b|= ， 讨论a值得到b的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．