Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．
（1）若a=4时，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=4时，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣8x﹣3，

∴函数在[1，3]上单调递减，[3，4]上单调递增，

∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值为f（1）=﹣6，最小值为f（3）=﹣18

（2）解：在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0，

可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，

∴只要求 的最小值即可，而y= ．

y′= 恒大于零，

∴y在R上为增函数，∴ymin= ，

∴a≤

【解析】（1）求导数，确定函数在[1，3]上单调递减，[3，4]上单调递增，即可求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，只要求 的最小值即可得到a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．