Question

【题目】已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上． （Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上， 故可设圆心C（a，2a），半径为r．
则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2 ．
∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），
∴ ．
解得a=2，r= ．
∴圆C的标准方程为
（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r= ．
直线l经过点P（﹣1，3），
①若直线斜率不存在，
则直线l：x=﹣1．
圆心C（2，4）到直线l的距离为
d=3＜r= ，故直线与圆相交，不符合题意．
②若直线斜率存在，设斜率为k，
则直线l：y﹣3=k（x+1），
即kx﹣y+k+3=0．
圆心C（2，4）到直线l的距离为
d= = ．
∵直线与圆相切，
∴d=r，即 = ．
∴（3k﹣1）2=5+5k2 ，
解得k=2或k= ．
∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0
【解析】（Ⅰ）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程． （Ⅱ）根据已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程．