Question

【题目】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．

（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；

（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）时， ， 的长为定值．

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的性质可得到焦点的距离为可得出，求出的方程，联立抛物线，故而可得， ，即可得最后结果；（2）设出直线的方程为，设 ，与抛物线方程联立，运用韦达定理得， ，由，得，将， 代入可得的值，利用直线截圆所得弦长公式得，故当时满足题意.

试题解析：（1）∵点，∴，解得，

故抛物线的方程为： ，当时，，

∴的方程为，联立可得， ，

又∵， ，∴．

（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，

设 ，则， ，①

由得： ，

整理得，②

将①代入②解得，∴直线，

∵圆心到直线l的距离，∴，

显然当时， ， 的长为定值．