Question

【题目】设向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈[0， ]．
（1）若| |=| |，求x的值；
（2）设函数f（x）= ，求f（x）的最大值及单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意知3sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=1

∴sin2x= ，

∵x∈[0， ]．

∴sinx= ，

x= ．

（2）解：f（x）= = sinxcosx+sin2x= sin2x﹣ cos2x+ =sin（2x﹣ ）+ ，

f（x）max=1+ = ，

由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

∴函数的单调增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

【解析】（1）先根据题意分别表示出两向量的模，取得sinx的值，进而求得x．（2）表示出函数f（x）的表达式，进而利用二倍角公式和两角和公式化简，进而根据三角函数的图象和性质求得函数的最大值和单调增区间．