Question

【题目】已知圆过点和点，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线方程.

（3）设直线，且直线被圆所截得的弦为，满足，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. (2) 或.(3)y＝x－1或y＝x－4.

【解析】试题分析：（1）设圆心C（a，b），由两点间距离公式及圆心在直线上，列出方程组，求出圆心坐标，进而求出圆半径，由此能求出圆C的方程．

（2）当切线的斜率k存在时，设过点（6，3）的切线方程为kx﹣y﹣6k+3=0，则圆心C（3，﹣2）到切线的距离d=，求出k，从而求出切线方程；当切线斜率k不存在时，切线方程为x=6，成立．由此能求出切线方程．

（3）由题意得OA⊥OB，从而|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，进而解得m＝－1或m＝－4，由此能求出直线l的方程．

试题解析：

(Ⅰ)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则，解得D＝－6，E＝4，F＝4，

所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.

（Ⅱ）圆C的方程为,

当斜率存在时，设切线方程为，则

，解得，

所以切线方程为，即.

当斜率不存在时， .

所以所求的切线方程为或.

（Ⅲ）直线l的方程为y＝x＋m.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则联立消去y得2x2＋2(m－1)x＋m2＋4m＋4＝0，(*)

∴∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2.

∵∠AOB＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，

∴=(x1－x2)2＋(y1－y2)2，

得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，

即m2＋4m＋4＋m(1－m)＋m2＝0，解得m＝－1或m＝－4.

容易验证m＝－1或m＝－4时方程(*)有实根.

所以直线l的方程是y＝x－1或y＝x－4.