Question

【题目】已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）+ 在[ ，+∞）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得对任意的x∈（ ，+∞），都有函数y=f（x）+ 的图象在g（x）= 的图象的下方；若存在，请求出最大整数k的值，若不存在，请说明理由（参考数据：ln2=0.6931， =1.6487）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（0，+∞），

则f′（x）= ，则f′（1）=1，且f（1）=ln1=0，

即切点坐标为（1，0），

则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1

（2）解：y=f（x）+ =lnx+ ，

若函数y=f（x）+ 在[ ，+∞）上有两个不同的零点，

则函数y=f（x）+ =0，即lnx+ =0在[ ，+∞）上有两个不同的根，

即 =﹣lnx，则k=﹣xlnx，

设y=g（x）=﹣xlnx，

则g′（x）=﹣（lnx+x ）=﹣1﹣lnx，

由g′（x）＜0得﹣1﹣lnx＜0得lnx＞﹣1，

即x＞ ，此时函数g（x）单调递减，

由g′（x）＞0得﹣1﹣lnx＞0得lnx＜﹣1，

即 ≤x＜ ，此时函数g（x）单调递增，即当x= 时，函数取得极大值为g（ ）=﹣ ln = ，

当x= 时，g（ ）=﹣ ln = ，

作出g（x）的对应图象，若y=k与g（x）有两个不同的交点，

则 ≤k＜

（3）解：若对任意的x∈（ ，+∞），都有函数y=f（x）+ 的图象在g（x）= 的图象的下方，

即对任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，

即lnx+ ﹣ ＜0恒成立，

即 ＜ ﹣lnx，

则k＜ex﹣xlnx，

设h（x）=ex﹣xlnx，则h′（x）=ex﹣1﹣lnx，

h′′（x）=ex﹣ ，

设h′′（x）=ex﹣ 的零点为x0，

则当 ＜x＜x0时，h′′（x）＜0时，函数为减函数，

当x＞x0时，h′′（x）＞0，即h′（x）为增函数，

即当x=x0时函数h′（x）取得极小值同时也是最小值，

h′（x）最小为h′（x0）= ﹣1﹣lnx0＞ ﹣1﹣ln = ﹣1+ln2=0.6931+1.6487﹣1＞0，

即h′（x）＞0此时函数h（x）在（ ，+∞）上为增函数，

则h（x）＞h（ ）= ﹣ ln = + ln2=1.648+ 0.6931=1.648+0.39655=2.04455．

即k＜2.04455．

∴最大的整数k=2．

【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解．（2）利用参数分离法转化为两个函数有两个不同的交点即可．（3）y=f（x）+ 的图象在g（x）= 的图象的下方，等价为对任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．