Question

【题目】已知椭圆过点，过右焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长是1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点分别是椭圆的左，右顶点，过点的直线与椭圆交于两点（与不重合），证明：直线和直线交点的横坐标为定值．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的标准方程是；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知可知，点及点在椭圆上，代入，由即可解得则椭圆方程可求；（2）由（1）知点，设，联立方程，消去得，

进而得到，设直线联立方程，解得，将，可得，即直线和直线交点的横坐标为定值4．

试题解析：（1）由题知，解得，故椭圆的标准方程是

（2）由（1）知点，设，联立方程，消去得，

所以则直线联立方程，消去得．

解得因为，所以，即，所以，即直线和直线交点的横坐标为定值4．