Question

【题目】如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且， ， ， 为中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，推导出四边形为平行四边形．从而.进而平面，由此能证明平面平面.，从而平面.
（Ⅱ）取中点，连结.以为原点， 为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的正弦值.．

试题解析：

（1）证明：取中点，连结，因为分别为中点，所以.

又平面，且平面，所以平面，因为， ，所以， .所以四边形为平行四边形.

所以.又平面且平面，

所以平面，又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

（2）解：取中点，连结.因为，所以.

因为平面平面，所以平面， .

因为， ，所以为等边三角形.

因为为中点，所以.因为两两垂直，设，

以为原点， 为轴，如图建立空间直角坐标系

由题意得， ， ， ， ， ， .

， ， ，

设平面的法向量为

则，即令，则， 所以.

设平面的法向量为

则，即令，则， 所以.

∴∴二面角平面角的正弦值为