【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在
时恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当时,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)[1,+∞);(3)证明见解析.
【解析】
(1)求导数可得,当
时函数在
上单调递增;当
时易得函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)知当时,不等式
在
,
时恒成立,当
时,不等式
不成立,综合可得
的范围;
(3)由(2)的单调性易得,进而可得
,
,
,
,将上述式子相加可得结论.
解:(1)求导数可得,
当时,
,
函数
在
上单调递增;
当时,由
可得
,
函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(2)由(1)知当时,函数
在
上单调递增,
,即不等式
在
时恒成立,
当时,函数在
上单调递减,
存在使得
,
即不等式不成立,
综上可知实数的取值范围为
,
;
(3)由(2)得当时,不等式
在
时恒成立,
即,
,
.
即,
,
,
,
,
将上述式子相加可得
原不等式得证.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,对任意
,
满足如下两个条件:①
是
的倍数;②
.
(1)若,
,写出满足条件的所有
的值;
(2)求证:当时,
;
(3)求所有可能取值中的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,那么下列结论中错误的是( )
A. 若是
的极小值点,则
在区间
上单调递减
B. ,使
C. 函数的图像可以是中心对称图形
D. 若是
的极值点,则
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【题目】已知圆外的有一点
,过点
作直线
.
(1)当直线过圆心
时,求直线
的方程;
(2)当直线与圆
相切时,求直线
的方程;
(3)当直线的倾斜角为
时,求直线
被圆
所截得的弦长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,曲线
:
(
为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点、
轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系
取相同单位长度的极坐标系中,曲线
:
.
(1)求曲线的普通方程以及曲线
的平面直角坐标方程;
(2)若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线
的距离相等,求这三个点的极坐标.
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