Question

【题目】已知数列{an}，满足a1=1， ，n∈N* ． （Ⅰ）求证：数列 为等差数列；
（Ⅱ）设 ，求T2n ．

Answer 1

【答案】证明（Ⅰ）：法一：由 ，得 = = + ， ∴ ﹣ = ，
∴数列{ }是首项为1，公差为 的等差数列，
法二：由 ，得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ =
∴数列{ }是首项为1，公差为 的等差数列，
（Ⅱ）解：设bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，
由（Ⅰ）得，数列{ }是首项为1，公差为 的等差数列，
∴ ﹣ =﹣ ，
即bn=（ ﹣ ） =﹣ ﹣ ，
∴bn+1﹣bn=﹣ （ ﹣ ）=﹣ × =﹣ ，
且b1=﹣ × =﹣ （ + ）=﹣
∴{bn}是首项b1=﹣ ，公差为﹣ 的等差数列，
∴T2n=b1+b2+…+bn=﹣ n+ ×（﹣ ）=﹣ （2n2+3n）
【解析】（Ⅰ）方法一：根据数列的递推公式得到 = = + ，即可得到 ﹣ = ，问题得以解决，方法二：根据数列的递推公式得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ = ，问题得以解决，（Ⅱ）设bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，得到{bn}是首项b1=﹣ ，公差为﹣ 的等差数列，再根据等差数列的求和公式计算即可．
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．