Question

【题目】已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且在公共定义域{x|x∈R且x≠±1}上满足f（x）+g（x）= ．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（ ）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，f（x）+g（x）= ，①

f（﹣x）+g（﹣x）= ，即﹣f（x）+g（x）=﹣ ，②

由①②联立解得f（x）= ，g（x）=

（2）解：h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，

∴h（ ）= =

（3）解：∵h（x）+h（ ）= =1，

∴h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）

=[h（2）+h（ ）]+[h（3）+h（ ）]+…+h（2016）+h（ ）]

=2015

【解析】（1）由f（x）+g（x）= ，得﹣f（x）+g（x）=﹣ ，联立方程组能求出f（x），g（x）．（2）由h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，能求出h（ ）．（3）由h（x）+h（ ）= =1，能求出h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）的值．
【考点精析】利用函数奇偶性的性质和函数的值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．