Question

【题目】对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.

（1）判断函数和是否为上的“平底型”函数？

（2）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

Answer 1

【答案】（1）不是“平底型”函数．（2）

【解析】试题分析：（1）分区间去掉绝对值符号，分别讨论与的性质与“平底型”函数定义对照即可；

（2） 函数是区间上的“平底型”函数等价于存在区间和常数，使得恒成立，即恒成立，亦即，解之即可.

试题解析： （1）对于函数，当时，.

当或时，恒成立，故是“平底型”函数.

对于函数，当时，；

当时，，

所以不存在闭区间，使当时，恒成立，故不是“平底型”函数.

（2）因为函数是区间上的“平底型”函数，则

存在区间和常数，使得恒成立.

所以恒成立，即解得或.

当时，.当时，；当时，恒成立，此时，是区间上的“平底型”函数.

当时，.当时，；当时，恒成立，此时，不是区间上的“平底型”函数.

综上分析，为所求.