Question

【题目】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为.

【解析】试题分析：（1）由题可知）抛物线的焦点为，所以，然后根据离心率可得a值，从而得出椭圆标准方程（2）根据题意则需求出AC和BD的长度表达式，显然可以根据直线与椭圆的弦长公式求得，所以设， ，直线的方程为，代入椭圆方程， ，同理求出AC的长度，然后化简即得 .

解析：

（1）抛物线的焦点为，所以，

又因为，所以，

所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）（i）当直线的斜率存在且时，

直线的方程为，代入椭圆方程，

并化简得.

设， ，则， ，

.

易知的斜率为，

所以.

.

当，即时，上式取等号，故的最小值为.

（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得.

综上， 的最小值为.