Question

【题目】已知函数．

(I)讨论函数在上的单调性；

(II)设函数存在两个极值点，并记作，若，求正数的取值范围；

(III)求证：当=1时， （其中e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数．（2）正数的取值范围是．（3）见解析

【解析】试题分析:（1）先求函数导数，，再讨论导函数在定义区间上符号变化规律：当时， ，即在上是增函数；当时，导函数有一个零点，符号先负后正，对应区间先减后增，（2）由题意易得要使函数存在两个极值点，必有，且极值点必为， ，因此，即正数的取值范围是．再化简条件，得，利用导数研究其单调性：为单调减，因此正数的取值范围是．（3）要证不等式，即证，利用导数易得函数最小值为1，而,得证.

试题解析：（Ⅰ） ，（ ）

当时， ， ，函数在上是增函数；

当时，由，得，解得（负值舍去），，所以

当时， ，从而，函数在上是减函数；

当时， ，从而，函数在上是增函数．

综上，当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时， ，函数无极值点；

要使函数存在两个极值点，必有，且极值点必为， ，又由函数定义域知， ，则有，即

，化为，所以，

所以，函数存在两个极值点时，正数的取值范围是．

由（）式可知，

不等式化为，

令，所以，

令， ．

当时， ， ，所以，不合题意；

当时， ， ，所以

在是减函数，所以，适合题意，即．

综上，若，此时正数的取值范围是．

（Ⅲ）当时， ，

不等式可化为，所以

要证不等式，即证，即证，

设，则，

在上，h'（x）＜0，h（x）是减函数；

在上，h'（x）＞0，h（x）是增函数．

所以，

设，则是减函数，

所以，

所以，即，

所以当时，不等式成立．