Question

【题目】已知椭圆 过点 ，且与 的交于 ， ．

（1） 用 表示 ， 的横坐标；

（2）设以 为焦点，过点 ， 且开口向左的抛物线的顶点坐标为 ，求实数

的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （ 即 ）．（2） ．

【解析】

（1） 根据点在曲线上，代入求出的值。通过联立曲线方程，求出交点的横坐标。

（2）设出抛物线方程，代入点坐标，进而得到关于x的一元二次方程；根据方程根的分布特征，求出参数的取值范围。

（1） 由于椭圆 过点 ，故 ．

横坐标适合方程

解得 （ 即 ）．

即 横坐标是 （ 即 ）．

（2） 根据题意，可设抛物线方程为 ．

， ．

把 和 （等同于 坐标 ）代入式抛物线方程，得

.

令 ．

则 内有根（并且是单调递增函数），

解得 ．