Question

【题目】在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为： ，（θ∈[﹣ ， ]），曲线C： （t为参数）．
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）C与C1相交于A，B，与C2相切于点Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin2θ=4cosθ，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线C1的直角坐标方程为：y2=4x．
（Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由题意知直线C的斜率k= ，
所以 ，即 =tanθ=﹣ ，
所以 ，故Q（ ，﹣ ）．
取 ， ，不妨设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ．
把 ，代入y2=4x，
化简得 ，即3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，
∵C与C1相交于A，B，∴△＞0，t1+t2= ．
∴|AQ|﹣|BQ|=|t1+t2|=
【解析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由题意知直线C的斜率k= ，从而 =tanθ=﹣ ，进而Q（ ，﹣ ）．设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ． 把 ，代入y2=4x，得3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0，由此利用韦达定理能求出|AQ|﹣|BQ|．