Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 b．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F的坐标为（﹣c，0），依题意有bc= ab，

∴椭圆C的离心率e= = ．

（2）解：若b=2，由（1）得a=2 ，∴椭圆方程为 ．

联立方程组

化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，

由△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞

由韦达定理得：xM+xN= …①，xMxN= …②

设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），

MB方程为：y= x﹣2，…③

NA方程为：y= x+2，…④

由③④解得：y=

= = =1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上

【解析】（1）设F的坐标为（﹣c，0），原点O到直线FA的距离为 b，列出方程，即可求解椭圆的离心率．（2）求出椭圆方程，联立方程组 ，通过韦达定理，设M（xM ， kxM+4），N（xN ， kxN+4），
求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．